約数の個数について

約数の個数の問題は難しそうだけどパターン化される!

四谷大塚の数の性質の項目で「とある数の約数の個数が3個だった場合」の問題を見ます。
それは素数の平方数だったりするわけですが、調べてみたところ
パターン化されているようだったのでまとめてみました。

約数の個数が1個の場合

ずばり[1]です。

約数の個数が2個の場合

ずばり[素数]です。
この場合の約数は[1]と[素数自身]となります。
例:2,3,5,7,11,13,17・・・

※念のため、素数とは正の約数が[1]と[自分自身のみ]である自然数です。
 ただし、[1]は含まれません。

約数の個数が3個の場合

同じ素数の2乗となります。
p×p(pは素数)
この場合の約数は[1]と[p]と[p×p]の3個となります。

約数の個数が4個の場合

2個の異なる素数の積となります。
p×q(pとqは素数)
この場合の約数は[1]と[p]と[q]と[p×p]の4個となります。
例:6(2×3)、10(2×5)、15(3×5)・・・

約数の個数が5個の場合

同じ素数の4乗となります。
p×p×p×p(pは素数)
この場合の約数は[1]と[p]と[p×p]と[p×p×p]と[p×p×p×p]です。
例:16(2の4乗)、81(3の4乗)・・・

約数の個数が8個の場合

3個の異なる素数の積となります。
p×q×r(pとqとrは素数)
この場合の約数は[1]、[p]、[q]、[r]、[p×q]、[p×r]、[q×r]、[p×q×r]の8個となります。
例:30(2×3×5)、105(3×5×7)・・・

まとめ

その他、素数の組み合わせでバリエーションがありますが
ここら辺を押させておけばよさそうですね。

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